Modell

Wie man mit der Poisson-Verteilung Fussballspiele berechnet

Warum ausgerechnet eine Formel aus dem 19. Jahrhundert Fussballtore gut beschreibt — und wo sie an ihre Grenzen stösst.

Samstag, 15. August 2026 · 8 Minuten Lesezeit

Fast jedes ernstzunehmende Fussballmodell beginnt mit derselben Idee: Tore fallen zufällig, aber nicht beliebig. Sie folgen einem Muster, das sich beschreiben lässt.

Was die Poisson-Verteilung beschreibt

Siméon Denis Poisson beschrieb 1837 eine Verteilung für seltene Ereignisse in einem festen Zeitraum. Wie viele Anrufe erreichen eine Zentrale pro Stunde? Wie viele Regentropfen treffen ein Blatt pro Minute?

Fussballtore passen erstaunlich gut in dieses Muster: Sie sind selten, sie können zu jedem Zeitpunkt fallen, und ein Tor macht das nächste nicht wesentlich wahrscheinlicher.

Die Verteilung braucht nur eine Zahl: den Erwartungswert. Wie viele Tore erwarten wir von dieser Mannschaft in diesem Spiel? Daraus ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für jede konkrete Anzahl.

Erwartete Tore	0 Tore	1	2	3	4+
1,0	36,8 %	36,8 %	18,4 %	6,1 %	1,9 %
1,5	22,3 %	33,5 %	25,1 %	12,6 %	6,5 %
2,0	13,5 %	27,1 %	27,1 %	18,0 %	14,3 %

Bemerkenswert: Selbst eine Mannschaft, von der wir zwei Tore erwarten, trifft in mehr als jedem achten Spiel gar nicht.

Woher der Erwartungswert kommt

Hier trennt sich ein gutes von einem schlechten Modell. Die Formel ist für alle gleich — die Eingabe entscheidet.

Der übliche Weg: Angriffs- und Abwehrstärke jeder Mannschaft relativ zum Ligadurchschnitt. Schiesst eine Mannschaft 1,8 Tore pro Spiel, während die Liga im Schnitt bei 1,4 liegt, hat sie eine Angriffsstärke von 1,29. Kassiert der Gegner 1,6 statt 1,4, liegt seine Abwehrschwäche bei 1,14.

Multipliziert ergibt das: 1,4 × 1,29 × 1,14 = 2,06 erwartete Tore.

Ein häufiger Fehler ist, statt zu multiplizieren zu mitteln. Dann rücken alle Prognosen zur Mitte, und am Ende steht bei jedem Spiel 1:0. Wir hatten genau dieses Problem und mussten das Modell dafür umbauen.

Von Toren zum Endstand

Wenn wir für beide Mannschaften eine Torerwartung haben, ergibt das eine Tabelle aller möglichen Resultate. Die Wahrscheinlichkeit für 2:1 ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Heimmannschaft zwei trifft, multipliziert mit der, dass die Gastmannschaft eines trifft.

Aus dieser Tabelle folgt alles Weitere: Heimsieg ist die Summe aller Felder, in denen die Heimzahl grösser ist. Über 2,5 Tore ist die Summe aller Felder mit mindestens drei Toren. Beide treffen ist die Summe aller Felder, in denen keine Null steht.

Wo Poisson danebenliegt

Die Verteilung nimmt an, dass beide Mannschaften unabhängig voneinander treffen. Das stimmt nicht ganz. Bei knappen Resultaten — 0:0, 1:0, 1:1 — kommt es in der Realität häufiger zu diesen Ständen, als die reine Rechnung erwartet.

Der Grund ist nachvollziehbar: Bei 0:0 in der 80. Minute spielen beide anders als bei 3:0. Ein Team mauert, das andere drückt. Diese Wechselwirkung kennt die Formel nicht.

Mark Dixon und Stuart Coles beschrieben 1997 eine Korrektur dafür, die genau diese niedrigen Resultate anhebt. Sie ist heute Standard und steckt auch in unserem Modell.

Was auch die beste Version nicht kann

Selbst gut kalibriert liegen Poisson-Modelle bei der Frage Sieg-Unentschieden-Niederlage nur knapp über 50 Prozent Trefferquote. Das klingt schwach, ist aber nahe an dem, was theoretisch möglich ist: Fussball ist ein Sport mit wenigen Toren, in dem ein Abpraller das Ergebnis dreht.

Wer eine Trefferquote von 70 oder 80 Prozent verspricht, rechnet entweder anders, als er behauptet, oder zählt nur die Treffer.

Kurz gefasst: Die Poisson-Verteilung beschreibt Tore gut, weil sie selten und weitgehend unabhängig fallen. Entscheidend ist nicht die Formel, sondern der Erwartungswert, der hineingeht. Und auch das beste Modell liegt regelmässig falsch.

Wie wir den Erwartungswert im Detail bestimmen, steht unter Modell im Detail.